Sonlu Elemanlar Yöntemi

ÖNSÖZ
Sonlu elemanlar yöntemi, mu¨hendislik alanında karmaşık problemlerin çözu¨mlenmesinde kullanılan en yaygın analiz yöntemidir. Elinizdeki bu kitapta, sonlu elemanlar yönteminin (SEY) yapı mu¨hendisliği alanındaki uygulamalarına yönelik temel ilkeler açıklanmış, farklı yapısal elemanların analizinde SEY'nin nasıl kullanıldığı, örnek problemler ve çözu¨m yöntemleri ile detaylı bir şekilde ele alınmıştır.
Sonlu elemanlar yöntemi bilgisayar yazılımları kullanımı gerektirdiğinden kitaptaki örneklerin birçoğu gu¨nu¨mu¨zde yaygın olarak kullanılan SAP2000, ANSYS gibi yazılımlar ile çözu¨lmu¨ştu¨r. Ayrıca bilgisayar yazılımlarının sonlu elemanlar yöntemini nasıl uyguladığının anlaşılması için kitapta kullanılan sonlu elemanların formu¨lasyonu, Python programlama dili ile geliştirilmiş özel kodlar şeklinde verilmiştir. Kitapta verilen Python program kodları anlaşılırlığı artırmak için optimize edilmeden olabildiğince açık olarak verilmiştir.
Yazar, İTÜ'de sonlu elemanlar yönteminin öğretilmesinde ve geliştirilmesinde bu¨yu¨k emek harcayan değerli akademisyenlerin rolu¨nu¨ takdirle anmaktan onur duymaktadır. İTÜ'de bu alandaki çalışmalar du¨nyadaki sonlu elemanlar yöntemi gelişimine paralel ilerlemiştir. Prof. Dr. Adnan Çakıroğlu, Prof. Dr. Nahit Kumbasar, Prof. Dr. Kemal Özden, Prof. Dr. Yalçın Aköz bu alanda öncu¨ çalışmalarda bulunmuştur. Sonrasında Prof. Dr. Ahmet Işın Saygun, Prof. Dr. Metin Aydoğan, Prof. Dr. Mehmet Omurtag bu alandaki çalışmalara gerek yayınlarıyla gerekse verdikleri derslerle katkıda bulunmuştur. Alanlarında derin bilgi birikimine sahip bu değerli öğretim u¨yeleri, yalnızca teorik bilgiyi aktarmakla kalmayıp, aynı zamanda yenilikçi du¨şu¨nce ve analitik çözu¨mleme becerilerini kazandırarak mu¨hendislik eğitimine katkılarda bulunmuşlardır. Onların özverili çalışmaları, sonlu elemanlar yönteminin u¨lkemizde ilerlemesinde önemli bir rol oynamıştır. İTÜ'deki bu misyon, gu¨nu¨mu¨zde sonlu elemanlar yönteminin Prof. Dr. Tu¨lay Aksu Özkul, Prof. Dr. Nihal Eratlı, Doç. Dr. Ülku¨ Hu¨lya Çalık Karaköse, Doç. Dr. Murat Yılmaz tarafından lisans ve yu¨ksek lisans dersleri olarak verilmesi şeklinde başarılı şekilde devam ettirilmektedir.
Kitap, yazım ve çizim işlerinin tamamı yazar tarafından yapılarak yoğun bir çalışma su¨reci sonucu oluşturulmuştur. Bunu göz önu¨ne alarak okuyucuların olası eksiklikleri hoşgöru¨ ile karşılayacağı u¨mit edilmektedir. Okuyucuların yazara iletecekleri her tu¨rlu¨ eleştiri ve göru¨ş, yazar tarafından memnuniyetle karşılanacak ve ileriki baskılar için önemli katkılar olarak değerlendirilecektir.
Yazar kitabın yazımı su¨recinde göru¨şlerine başvurduğu Prof. Dr. Engin Orakdöğen, Prof. Dr. Konuralp Girgin, Doç. Dr. Cu¨neyt Vatansever, Dr. Yavuz Durgun ve Dr. Gu¨nhan Aksoylu'ya teşekku¨rlerini sunmaktadır. Yazar, kitabın konu ile ilgilenen öğrencilerin ve uygulamadaki mu¨hendislerin bilgi birikimlerine katkı sağlayacak bir kaynak olmasını umut etmektedir.

Kutlu Darılmaz
İstanbul, 2025



İÇİNDEKİLER
1 Giriş ............................................................................................................................................................. 1
1.1 Giriş ........................................................................................................................................................... 1
1.2 Yöntemin Uygulanmasında İzlenen Adımlar .................................................................................................................. 2
1.3 Yöntemin Uygulanması İçin Gerekli Ön Bilgiler .............................................................................................................. 2
1.4 Sonlu Eleman Tu¨rleri ........................................................................................................................................................... 3
1.5 Eleman Karakteristik Matrisi .................................................................................................................................................. 5
1.5.1 Doğrudan Yöntem (Direkt Yöntem) ........................................................................................................................6
1.6 Alan Değişkenleri ................................................................................................................................................................ 14
1.7 İnterpolasyon fonksiyonları, Şekil Fonksiyonları ........................................................................................................ 14
1.8 Genel koordinatlar ve doğal koordinatlar ................................................................................................................ 18
2 Genel Kavramlar ............................................................................................................................................................... 21
2.1 Gerilmeler ve Denge ............................................................................................................................................................... 21
2.2 Sınır koşulları ............................................................................................................................................................ 23
2.3 Şekil Değiştirme Yer Değiştirme Bağıntıları............................................................................................................... 24
2.4 Gerilme Şekil değiştirme bağıntıları ........................................................................................................................... 26
2.4.1 Du¨zlem Gerilme Durumu.......................................................................................................................................... 28
2.4.2 Du¨zlem Şekil değiştirme Durumu .......................................................................................................................... 29
2.5 Toplam Potansiyel Enerji İlkesi ................................................................................................................................... 30
2.5.1 Potansiyel Enerji ........................................................................................................................................................... 30
2.6 RayleighRitz Yöntemi .............................................................................................................................. 35
3 Çubuk Elemanlar ........................................................................................................................................................... 38
3.1 Basit tek boyutlu çubuk eleman ....................................................................................................................................... 38
3.1.1 Doğrusal Eleman .......................................................................................................................................................... 38
3.1.2 Yu¨k matrisi ...................................................................................................................................................................... 43
3.2 Du¨zlem Kafes Çubuk ....................................................................................................................................................... 54
3.3 Uzay Kafes Sistemler ....................................................................................................................................................... 77
3.4 Du¨zlem Kiriş Eleman ........................................................................................................................................................ 78
3.4.1 Yu¨k Matrisi .............................................................................................................................................................. 83
3.5 Du¨zlem çubuk eleman .................................................................................................................................................... 88
3.6 Üç Boyutlu Uzay Çubuk Eleman ................................................................................................................................ 105
4 İki Boyutlu Elemanlar ............................................................................................................................................................... 132
4.1 Giriş ........................................................................................................................................................................ 132
4.2 Sabit Şekil değiştirme Üçgen Elemanı (CST Constant Strain Element) ..................................................... 132
4.2.1 İlgili Matrislerin Doğal Eksenlerde Elde Edilmesi ........................................................................................... 150
4.3 Dikdörtgen Du¨zlem Eleman (İki doğrultuda doğrusal dikdörtgen Q4) ...................................................... 163
4.4 İzoparametrik Formu¨lasyon ile Genel ?ekilli Dörtgen Du¨zlem Eleman......................................................173
4.4.1 Hacim kuvveti .............................................................................................................................................................. 180
4.4.2 Yu¨zey kuvvetleri.......................................................................................................................................................... 180
4.5 Sayısal İntegral .................................................................................................................................................................. 181
4.5.1 Gauss kareleme yöntemi ........................................................................................................................................ 182
4.5.2 Sabit Şekil değiştirme Üçgen Elemanı ile Genel Şekilli Dörtgen Eleman Karşılaştırması ................ 202
5 Plak Eleman ................................................................................................................................................................. 204
5.1 Plak eleman .................................................................................................................................................................. 204
5.2 Kirchoff plak teorisi varsayımları .............................................................................................................................. 204
5.3 Gerilme Şekil değiştirme ilişkisi ................................................................................................................................. 206
5.4 Plağın Potansiyel Enerjisi ............................................................................................................................................. 208
5.5 Yu¨k vektöru¨ ................................................................................................................................................................. 217
6 Üç Boyutlu Elemanlar .............................................................................................................................................................. 239
6.1 Giriş ......................................................................................................................................................................... 239
6.2 Dört Noktalı Dört Yu¨zlu¨ Eleman ................................................................................................................................ 239
6.3 Yu¨k matrisi ................................................................................................................................................................. 244
6.4 İzoparametrik Formu¨lasyon ...................................................................................................................................... 261
6.5 8 Noktalı Eleman ............................................................................................................................................................ 265
7 Eksenel Simetrik Eleman ....................................................................................................................................................... 292
7.1 Eksenel Simetrik Üçgen Eleman..................................................................................................................................... 292
8 Yu¨ksek Dereceden Elemanlar .............................................................................................................................................. 304
8.1 Giriş ........................................................................................................................................................................ 304
8.2 İkinci Dereceden Tek Boyutlu Çubuk Eleman ................................................................................................... 304
8.3 Altı du¨ğu¨m noktalı u¨çgen eleman ............................................................................................................................. 307
8.4 Sekiz Du¨ğu¨m Noktalı Dörtgen Eleman ................................................................................................................... 308
8.5 20 Du¨ğu¨m Noktalı Eleman ........................................................................................................................................... 310
9 Matris İşlemleri ve Lineer Cebir ........................................................................................................................................... 312
9.1 Giriş ........................................................................................................................................................................ 312
9.2 Matrisler ........................................................................................................................................................................ 312
9.3 Vektörler ......................................................................................................................................................................... 312
9.4 Özel Matrisler .................................................................................................................................................................... 313
9.4.1 Kare matris ................................................................................................................................................................... 313
9.4.2 Köşegen Matris ............................................................................................................................................................ 313
9.4.3 Birim Matris .................................................................................................................................................................. 313
9.4.4 Simetrik Matris ............................................................................................................................................................ 313
9.4.5 Antimetrik Matris........................................................................................................................................................ 314
9.4.6 Üst Üçgen Matris ......................................................................................................................................................... 314
9.4.7 Alt Üçgen Matris .......................................................................................................................................................... 314
9.4.8 Bant Matris ................................................................................................................................................................... 314
9.5 Matris İşlemleri ................................................................................................................................................................ 315
9.5.1 Toplama ve Çıkarma İşlemi: ................................................................................................................................. 315
9.5.2 Matrisin bir sayı ile çarpılması ............................................................................................................................... 316
9.5.3 Matris Çarpımı ..............................................................................................................................................................317
9.5.4 Matrisin Devriği (Tranpozesi) ................................................................................................................................ 318
9.5.5 Matris Tersi ................................................................................................................................................................... 319
9.5.6 İntegrasyon ve Tu¨rev ............................................................................................................................................... 322
9.6 Sonlu elemanlar yönteminde matris kullanımı .................................................................................................... 323
9.7 Matris ve determinantların özellikleri ...................................................................................................................... 323
9.7.1 Determinantın özellikleri ........................................................................................................................................ 324
9.8 Gauss İndirgeme Yöntemi .......................................................................................................................................... 325
9.9 LU Yöntemi ........................................................................................................................................................................ 332
10 Veri Dosyası Aktarımı ........................................................................................................................................................... 336
10.1 Giriş ......................................................................................................................................................................... 336
10.2 SAP2000 Programına aktarım .................................................................................................................................. 336
10.3 ANSYS programına aktarım......................................................................................................................................... 337